在之前對序列模型中的HMM（隱馬爾可夫模型）進行掌握以后，有必要對另外一個序列模型CRF進行掌握，因為這兩個模型都是自然語言處理序列模型中的核心模型。在之前介紹的概率有向圖模型，如HMM，即貝葉斯網絡，相對應的概率無向圖模型就稱為馬爾可夫網絡或者馬爾可夫隨機場（MRF），本篇文章所介紹的CRF就是馬爾可夫隨機場的一種。

1．馬爾可夫隨機場

馬爾可夫隨機場也叫馬爾可夫網絡，同時也是一種無向圖模型。在概率圖模型的基礎上，針對無向圖模型，首先需要對無向圖模型的基礎概念進行一定程度上的掌握。

1．1． MRF相關概念

無向圖模型MRF所特有的一些概念如下：

· 團：圖中的節點子集，并且其中任意兩個節點之間都有邊連接；

· 極大團：為一個團，并且加入任何一個其他的節點都不能再形成團，例如下圖中，該圖中的團一共有｛1，2｝，｛1，3｝，｛2，3｝，｛2，4｝，｛3，4｝，｛3，5｝，｛3，6｝，｛1，3｝，｛1，2，3｝，｛2，3，4｝；其中極大團為｛1，2，3｝，｛2，3，4｝，｛3，5｝，｛3，6｝；

· 勢函數（也稱因子Factor）：定義在變量子集上的非負實函數，用于定義概率分布函數。在馬爾可夫隨機場中，多個變量之間的聯合概率分布可以基于團分解為多個勢函數的乘積，每個勢函數僅僅與一個團相關。

· 特征函數：通常情況下都是一些實數值函數，它是用來刻畫數據的一些可能成立的經驗特性。例如下式就是一個特征函數：

1．2． Hammersley－Clifford定理

在對于勢函數與團相關理論掌握的基礎上，由此引申出隨機場的基礎定理，即Hammersley－Clifford定理。該定理的具體定義為：對于具有N個變量的馬爾可夫隨機場，已知變量為 ），這些變量中所有團所構成的集合為T，同時與團 對應的變量集合記作 ，則其對應的聯合概率為：

上式中， 就是與團S所對應的勢函數，其作用為對團 中的變量關系進行建模。 為規范化因子，其難以計算，在普遍情況下，無需計算出 的精確值。在針對于團 不是極大團的情況時，由于非極大團必定屬于某個極大團的性質，所以還是可以用極大團進行計算來替代非極大團的聯合概率，即：

上式中的 就是所有極大團的集合。Hammersley－Clifford定理是隨機場的基礎定理，其為馬爾可夫隨機場被表達為正概率分布的充分必要條件。針對于1．1中的示例圖，其聯合概率就為：

1．3． 分離集與馬爾科夫性

在對各種馬爾可夫性進行掌握前，首先需要理解分離集的概念。分離集的定義為：設A、B、C都是馬爾可夫隨機場中的節點集合，如果從集合A中的節點到集合C中的節點都必須要經過集合B中的節點，那么就可以稱集合A和集合C被集合B給分離，其中集合B就為分離集。如下圖所示：

有了分離集合的概念，對下面幾種馬爾可夫性的理解就相對簡單了，馬爾可夫性的定義為：當一個隨機過程在給定當前狀態及所有過去狀態情況下，其未來狀態的條件概率分布僅依賴于當前狀態，即只要給定了當前狀態，未來狀態是與過去狀態無關的，也是條件獨立的，該隨機過程也就具有了馬爾可夫性。同理，在馬爾可夫隨機場中，馬爾可夫性可解釋為當前狀態看作為無向圖中的一個節點，過去狀態就是與當前狀態節點有邊連接的其他節點。針對于馬爾可夫性和下圖，又有：

· 全局馬爾可夫性：節點集合A，C是無向圖中被節點集合B分開的任意結點集合，則在給定隨機變量YB的條件下，隨機變量YA和YC條件獨立。如上圖中節點1，2就與節點6，7條件獨立。

· 局部馬爾可夫性：設X是無向圖中任意一個結點，T是與X有邊相連的所有結點，無向圖中其他剩余結點為S，則給定隨機變量YT的條件下，隨機變量YX和YS條件獨立。如上圖的節點2，與2連接的節點為1和5，即給定節點1和5的情況下，那么節點2就與剩下的節點3，4，6，7條件獨立。

· 成對馬爾可夫性：設無向圖中V和C是任意兩個沒有邊直接連接的結點，圖中其他結點的集合記做S，則給定隨機變量YS的條件下，隨機變量YV和YC條件獨立。如上圖中2和6兩個節點之間沒有邊直接連接，那么剩余其他節點為1，3，4，5，7，給定這些節點的情況下，節點2和節點6條件獨立。

綜上可知，這三種馬爾可夫性相互之間是關聯等價的，通過全局馬爾可夫性可以得到局部馬爾可夫性，通過局部馬爾可夫性也可得到成對馬爾可夫性，通過成對馬爾科夫性又可以推出全局馬爾可夫性。因此只要滿足三種性質的一種的無向圖就稱為馬爾可夫隨機場（MRF）。

2．條件隨機場——CRF

通過上述闡述，讀者們可以對馬爾可夫隨機場，即馬爾可夫無向圖有了基本的掌握與理解。在此基礎上，本文就引出條件隨機場CRF。

2．1．CRF

由上述可知，CRF模型是無向圖模型的一種，但是其與馬爾可夫隨機場（MRF）有所不同，主要區別在于MRF模型是生成模型，而CRF模型是判別式模型，其是對條件分布進行建模。兩者之間也存在關聯，即CRF是有條件的馬爾可夫隨機場，也就是在給定隨機變量的條件下的馬爾可夫隨機場。

CRF的基本定義為：設X和Y是隨機變量， 是給定X條件下Y的條件概率分布。若隨機變量Y構成一個無向圖的馬爾可夫隨機場，則稱條件概率分布 為CRF。對應于馬爾可夫性可理解為，如果隨機變量Y構成一個無向圖，且圖中每一個變量Y，都滿足馬爾可夫性（至少滿足全局馬爾可夫性、局部馬爾可夫性、成對馬爾可夫性中一種），則稱 為CRF。其中X為輸入變量，即需要標注的觀測序列，Y為輸出變量，表示狀態或標記序列。在自然語言處理領域中，普遍的輸入變量X和輸出變量Y具有相同圖結構。

2．2．CRF線性鏈

在實際應用中，對于CRF的使用最多的情況是線性鏈CRF，線性鏈的結構如下所示：

一般地，當X和Y具有相同圖結構時，線性鏈結構就變為如下所示：

在上圖中，X就為觀測序列，Y就為狀態序列。同時在給定隨機變量序列X的條件下，如果隨機變量序列Y相對于序列X的條件概率分布P（YIX）構成條件隨機場，那么可得隨機變量Y也滿足馬爾可夫性。公式表達為：

即Y當前狀態只與相連接的前后兩個狀態有關，而與其他狀態相互獨立，為線性連接的關系。此時稱P（YIX）為條件隨機場，相應的，X為輸入或者觀測序列，Y為輸出或者狀態序列。

2．3． CRF相關計算

當選定好勢函數后，這里選取指數函數，通過引入特征函數，可以得到條件概率為：

其中，tk和 sk分別為特征函數，tk定義為邊上的特征函數，也叫轉移特征，它依賴于當前節點和前一個節點； sk定義為結點上的特征函數，也叫狀態特征，只依賴于當前結點。一般情況下，tk和sk的取值為1或者0，即滿足特征條件時為1，不滿足則為0。λk和μk分別為tk和sk所對應的權值。Z（x）為規范化因子，來保證P（YIX）為概率分布。

對于上述公式的理解，通過一個簡單例子可以更好地去掌握。例如設輸入觀測序列X X3為（X1，X2，X3）對應的狀態序列Y為（Y1，Y2，Y3），其中Y1，Y2，Y3 的取值為1或者2。對于第一條連接邊，設特征和權值為：

對應的特征函數為：

根據上式，同時給定相對應的權重 可寫出：

由此可計算狀態為 的非規范化條件概率為（不需要除以規范化因子Z） 。

3．CRF模型解決的三種問題類型

相較于之前的HMM模型，CRF模型同樣需要解決三種問題，分別為概率計算問題、預測問題和學習問題。

· 概率計算問題：針對于概率計算問題，通常情況給定的已知信息是CRF模型的條件概率分布P（YIX）、觀測序列X和狀態序列Y，求解目標為某一條件概率以及相對應的數學期望。求解的方法基本就是前向后向計算方法。

· 預測問題：針對于預測問題，通常情況給定的已知信息是CRF模型的條件概率分布P（YIX）、觀測序列X，求解目標為使得條件概率最大的狀態序列Y，即求解觀測序列所對應的狀態。求解方法基本是函數計算。

· 學習問題：學習問題也叫模型訓練求解參數問題，通過給定的數據集（觀測序列和狀態序列等）來求解CRF模型所需要的參數，通常用到的方法就是模型訓練常用的尺度迭代方法（如梯度下降算法等）。

4．總結

相較于HMM模型，CRF模型計算的過程更為復雜，但是對于整體把握CRF模型的影響并不大，只需要在思路上明白CRF模型和HMM模型在實際應用中所需要解決的三種問題即可，針對于特定問題中給定的已知條件來實現求解目標。

在自然語言處理領域，對于概率統計模型的掌握其實也就是對于HMM模型和CRF模型的掌握。雖然，HMM和CRF模型流行于在自然語言處理領域使用深度學習技術之前，但是還是那句話，目前針對于自然語言處理領域深度學習技術的瓶頸問題，不妨換個思維，考慮下概率統計模型來處理，也許能取得不錯的效果。

▲文章來源于：Of Week維科號  51CTO

作者介紹

稀飯，51CTO社區編輯，曾任職某電商人工智能研發中心大數據技術部門，做推薦算法。目前攻讀智能網絡與大數據方向的研究生，主要擅長領域有推薦算法、NLP、CV，使用代碼語言有Java、Python、Scala。

原文鏈接：https://www.ofweek.com/ai/2022-04/ART-201718-8420-30559029.html

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